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一维随机游走回到原点的概率

作者:野牛程序员:2023-07-02 10:27:22其他阅读 2848

一维随机游走是一种数学模型,描述了一个在数轴上随机移动的过程。在每一步中,该过程以相等的概率向左或向右移动一步。问题是,当进行多次随机移动后,这个过程回到原点的概率是多少。

假设在第n步之后,过程回到原点的概率为P(n)。在第n+1步时,过程有50%的概率向左移动,使得它在原点的位置变为n-1;同样,有50%的概率向右移动,使得它在原点的位置变为n+1。因此,回到原点的概率可以表示为:

P(n+1) = 0.5 * P(n-1) + 0.5 * P(n)

对于边界情况,当n=0时,过程已经回到原点,所以P(0) = 1。当n=1时,过程可能向左移动到位置0,所以P(1) = 0.5 * P(0) = 0.5。

使用上述递推关系,我们可以计算出回到原点的概率在每个步骤中的变化情况。下面是一个计算过程回到原点概率的Python代码示例:

def probability_of_returning(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 0.5
    else:
        p_prev = 1
        p_curr = 0.5
        for i in range(2, n+1):
            p_next = 0.5 * p_prev + 0.5 * p_curr
            p_prev = p_curr
            p_curr = p_next
        return p_curr

# 测试返回原点的概率
n = 10  # 进行10步随机游走
p = probability_of_returning(n)
print("回到原点的概率为:", p)

对于这个例子,经过10步随机游走后,回到原点的概率为0.48828125(约为0.488)。

这个结果可以进一步近似为回到原点的概率随步数n的增加而逼近1/√n。这是一个经典的结果,在数学中被称为"一维对称随机游走的回归定理"。


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