一维随机游走回到原点的概率

一维随机游走是一种数学模型，描述了一个在数轴上随机移动的过程。在每一步中，该过程以相等的概率向左或向右移动一步。问题是，当进行多次随机移动后，这个过程回到原点的概率是多少。

假设在第n步之后，过程回到原点的概率为P(n)。在第n+1步时，过程有50%的概率向左移动，使得它在原点的位置变为n-1；同样，有50%的概率向右移动，使得它在原点的位置变为n+1。因此，回到原点的概率可以表示为：

P(n+1) = 0.5 * P(n-1) + 0.5 * P(n)

对于边界情况，当n=0时，过程已经回到原点，所以P(0) = 1。当n=1时，过程可能向左移动到位置0，所以P(1) = 0.5 * P(0) = 0.5。

使用上述递推关系，我们可以计算出回到原点的概率在每个步骤中的变化情况。下面是一个计算过程回到原点概率的Python代码示例：

def probability_of_returning(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 0.5
    else:
        p_prev = 1
        p_curr = 0.5
        for i in range(2, n+1):
            p_next = 0.5 * p_prev + 0.5 * p_curr
            p_prev = p_curr
            p_curr = p_next
        return p_curr

# 测试返回原点的概率
n = 10  # 进行10步随机游走
p = probability_of_returning(n)
print("回到原点的概率为:", p)

对于这个例子，经过10步随机游走后，回到原点的概率为0.48828125（约为0.488）。

这个结果可以进一步近似为回到原点的概率随步数n的增加而逼近1/√n。这是一个经典的结果，在数学中被称为"一维对称随机游走的回归定理"。