数学里面的取余

在数学中，"取余"指的是两个整数相除后的余数。具体来说，给定两个整数 $a$ 和 $b$，取余运算的结果是将 $a$ 除以 $b$ 后得到的余数，记作 $a\mathrm{mod}b$。

例如：

• 10mod  3=1，因为 10÷3=3 余数是 1。

• 17mod  5=2，因为 17÷5=3余数是 2。

取余运算在编程、数论、密码学等领域有广泛的应用。

1 除以 2 的余数为 1，是由取余运算的基本性质决定的。取余运算具有以下几个核心性质：

1. 商和余数定义：
   对于任意整数 a 和正整数 b，a 除以 b 可以表示为：
   a=b×q+r
   其中，q 是商，r 是余数，且满足 0≤r<b。
   在这种情况下，1 除以 2 可以表示为：
   1=2×0+1
   因此，余数 r 为 1。

2. 余数范围：
   余数 r 总是大于或等于 0 且小于除数 b（即 0≤r<b）。对于 1 除以 2，只有 0 和 1 是可能的余数，但由于 1 不能被 2 整除，余数就只能是 1。

这种性质确保了即使被除数比除数小，余数依然保持在合法范围内。

当被除数比除数小的时候，取余运算有一个简单的性质：余数等于被除数本身。

这是因为根据取余运算的定义，公式为：a=b×q+r其中 a 是被除数，b是除数，q 是商，r 是余数，且 0≤r<b。

当 a<b 时，商 q 必为 0，因为 a 不足以被 b 整除。此时，公式变为：a=b×0+r因此 r=a。换句话说，被除数比除数小的情况下，取余的结果就是被除数本身。

例如：

• 1mod  2=1 因为 1 小于 2，余数就是 1。

• 3mod  5=3 因为 3 小于 5，余数就是 3。

这种性质确保了当被除数无法整除时，余数的值仍然保持在合法范围内。