若f(x)=(x-1)^2+ax+sin(x+π/2)为偶函数，则a等于多少

要确定函数 f(x) = (x-1)^2 + ax + sin(x+π/2) 是否为偶函数，我们需要考虑函数在自变量 x 和负自变量 -x 处的函数值是否相等。

首先，我们将函数 f(x) 替换为 f(-x) 并比较两者：

f(-x) = (-x-1)^2 + a(-x) + sin(-x+π/2) = (x+1)^2 - ax + sin(-x+π/2) = (x+1)^2 - ax + sin(-x)cos(π/2) + cos(-x)sin(π/2) = (x+1)^2 - ax - sin(x) + cos(x)

现在我们比较 f(x) 和 f(-x)，看它们是否相等：

f(x) = (x-1)^2 + ax + sin(x+π/2)

通过比较 f(x) 和 f(-x)，我们可以得到以下条件：

(x-1)^2 + ax + sin(x+π/2) = (x+1)^2 - ax - sin(x) + cos(x)

化简上述方程：

(x-1)^2 - (x+1)^2 + 2ax + sin(x+π/2) + sin(x) - cos(x) = 0

继续化简：

x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1) + 2ax + sin(x+π/2) + sin(x) - cos(x) = 0 -4x + 2ax + sin(x+π/2) + sin(x) - cos(x) = 0

要使上述方程对于所有 x 成立，所有项的系数必须为零。现在我们来分别考虑各个项的系数：

-4x + 2ax = 0 （x 的系数） a = 2

sin(x+π/2) = 0 （sin 的系数） x + π/2 = kπ, 其中 k 为整数 x = kπ - π/2

sin(x) - cos(x) = 0 （sin 和 cos 的系数） sin(x) = cos(x) tan(x) = 1 x = π/4 + kπ, 其中 k 为整数

综上所述，要使函数 f(x) = (x-1)^2 + ax + sin(x+π/2) 成为偶函数，a 必须等于 2。