什么是集合？什么是子集？它们的性质是什么？

集合是数学中的一个基本概念，是指具有某种特定性质的对象的总体。例如，所有人的集合、所有整数的集合、所有动物的集合等等。在数学中，集合通常用大括号 {} 括起来表示，其中包含了所有属于该集合的对象，用逗号隔开。

例如，整数集合可以表示为 {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}，表示这个集合包含了所有的整数。

集合中的对象称为元素或成员。一个元素是否属于某个集合，可以用属于符号 “∈” 表示。例如，对于整数集合，我们可以表示 3∈{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}，表示整数 3 是整数集合中的一个元素。

集合的大小，指的是集合中元素的数量。对于有限集合，其大小也称为基数，可以用符号 “|S|” 表示。例如，对于一个有 5 个元素的集合 S，我们可以表示为 |S|=5。

集合的运算包括交集、并集、差集、补集等。假设 A 和 B 是两个集合，下面是集合运算的定义和符号：

1. 交集：A∩B，表示同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合。

2. 并集：A∪B，表示集合 A 和集合 B 中所有元素组成的集合。

3. 差集：A-B，表示属于集合 A 但不属于集合 B 的所有元素组成的集合。

4. 补集：A' 或者 Ac，表示不属于集合 A 的所有元素组成的集合。

另外，有些集合具有特殊的性质。例如，空集（不包含任何元素的集合）是所有集合的子集，而全集（包含所有元素的集合）是所有集合的超集。另外，一些集合之间可能存在包含关系，例如集合 A 是集合 B 的子集，表示 A 中的所有元素都属于 B。而两个集合相等，表示它们包含的元素完全相同。

集合是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域。在计算机科学中，集合被用来表示数据的集合和关系，例如数据库中的表和索引。在统计学中，集合被用来表示样本集和总体集。在离散数学和计算理论中，集合被用来描述算法和数据结构。

子集的相关性质及公式

一个集合的子集是指该集合中的元素任意取出一些或全部组成的集合，其中包括空集和该集合本身。例如，集合 {1,2,3} 的子集有 {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，以及空集 {}。

下面是子集的相关性质和公式：

1. 子集数量：对于一个含有 n 个元素的集合，它的子集数量是 2^n，其中包括空集和该集合本身。

2. 真子集：如果一个集合 A 的子集中不包括集合 A 本身，则称该子集为集合 A 的真子集。

3. 子集的包含关系：如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，可以表示为 A ⊆ B。

4. 空集和全集：空集是任何集合的子集，全集是任何集合的超集。

5. 幂集：一个集合的所有子集组成的集合被称为该集合的幂集。例如，集合 {1,2} 的幂集为 {{}, {1}, {2}, {1,2}}，其中包括空集和该集合本身。

6. 子集的运算：集合的子集之间可以进行交、并、差等运算。对于集合 A 和集合 B，它们的交集为 A ∩ B，它们的并集为 A ∪ B，它们的差集为 A - B。

7. 子集的排列组合：对于一个含有 n 个元素的集合，其中选择 r 个元素组成的子集的数量为 C(n,r)，表示为 n choose r，可以用下面的公式计算：C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]。其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n × (n-1) × ... × 2 × 1。

以上是子集的一些基本性质和公式，它们在数学和计算机科学中都有广泛应用。例如，计算机科学中的算法和数据结构中，经常需要操作集合和子集，比如在搜索、排序、图论等方面。

如何求  C(10,7) 的值

要求 C(10,7)，可以将 n 设为 10，r 设为 7，带入公式 C(n,r) = n!/[(n-r)!r!] 中计算，即：

C(10,7) = 10!/[(10-7)!7!] = 10!/3!7! = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120。

因此，C(10,7) 的值为 120。

如果想要简便地计算 C(n,r)，可以使用下面的递推公式：

C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)

其中，C(n-1,r-1) 表示从前 n-1 个元素中选出 r-1 个元素的方案数，C(n-1,r) 表示从前 n-1 个元素中选出 r 个元素的方案数。利用递推公式，可以将 C(n,r) 的计算转化为 C(n-1,r-1) 和 C(n-1,r) 的计算，从而可以逐步计算出 C(n,r) 的值，这样的时间复杂度为 O(n^2)。同时，也可以使用记忆化搜索或动态规划的方法，将递推公式中的结果缓存下来，从而可以在 O(n*r) 的时间复杂度内计算出 C(n,r) 的值。

csp-j初赛2018年题目：

题目：设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 7 个元素组成的子集数为 T，则 T / S 的值为（ ）。 A. 5 / 32 B. 15 / 128 C. 1 / 8 D. 21 / 128

题目是这样的：有一个集合，里面有 10 个元素。集合的全部子集数为 S，由其中 7 个元素组成的子集数为 T。那么，T/S 的值是多少呢？

首先，我们需要知道一个公式：对于一个集合，它的全部子集数可以用 2 的集合元素个数次方减去 1 来表示。这个公式是怎么来的呢？假设一个集合中有 n 个元素，那么每个元素都有两种状态：要么在子集中，要么不在子集中。所以，这个集合的全部子集数就是 2 的 n 次方。

根据上面的公式，我们可以算出这个集合的全部子集数 S。S = 2^10  = 1024。

接下来，我们需要算出由其中 7 个元素组成的子集数 T。这个可以用组合数学的知识来求解。从 10 个元素中选出 7 个元素，一共有 C(10,7) 种选法。所以，T = C(10,7) = 120。

最后，我们可以算出 T/S 的值了。T/S = 120/1024 = 15/128。

所以，答案是 B。