杨辉三角组合数公式
杨辉三角是一种有趣的图形，其中每个数字等于上方两个数字之和。第 n 行表示为 (n+1) 个数字，可以用组合数表达式 C(n,k) 表示。
具体地说，对于第 n 行的第 k 个数字，它可以表示为 C(n,k-1)，其中 C(n,k) 是组合数，表示从 n 个不同的物体中选择 k 个物体的方案数。
因此，杨辉三角的第 n 行可以表示为：
C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n-1), C(n,n)
例如，杨辉三角的前几行如下：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
第一行只有一个数字 1。 第二行有两个数字 1，它们分别是第一行的两个数字之和。 第三行的第二个数字是第二行的前两个数字之和，第三个数字是第二行的后两个数字之和。 以此类推，每一行的数字都是上方两个数字之和，最后一行有 n+1 个数字，表示 (n+1) 种组合。
以下是加上注释的生成杨辉三角的前 numRows 行的伪代码：
// 生成杨辉三角的函数 function generate(numRows: integer): array of array of integer // 初始化一个 numRows 行的二维数组 res := new array of array of integer with numRows rows // 对每一行进行遍历 for i := 0 to numRows-1 do // 对于第 i 行，动态分配一个 i+1 大小的一维数组 res[i] := new array of integer with i+1 elements // 将第 i 行的首尾元素赋值为 1 res[i][0] := 1 res[i][i] := 1 // 对于第 i 行的中间元素，从第二个开始遍历到倒数第二个 for j := 1 to i-1 do // 计算当前位置的元素值，等于上一行的左上和右上元素之和 res[i][j] := res[i-1][j-1] + res[i-1][j] end for end for // 返回杨辉三角的结果 return res end function
注释说明了每一行代码的作用和功能，方便理解和阅读代码。需要注意的是，该伪代码使用了动态数组，需要手动管理内存，在程序结束时使用 delete 关键字释放内存，避免内存泄漏。
生成杨辉三角的前 numRows 行的自然语言表述如下：
从第一行开始，每行数字左右对称，每个数字是它上方两个数字之和。例如，第一行只有一个数字 1；第二行数字为 1, 1+1=2；第三行数字为 1, 1+2=3, 2+1=3；第四行数字为 1, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4；以此类推，生成 numRows 行数字，即为杨辉三角。
题目：给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。
例如，numRows = 5 时，应该返回如下杨辉三角：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
C++代码实现1：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> generate(int numRows) {
vector<vector<int>> res(numRows);
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
res[i].resize(i+1);
res[i][0] = res[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
res[i][j] = res[i-1][j-1] + res[i-1][j];
}
}
return res;
}
int main() {
int numRows = 5;
vector<vector<int>> res = generate(numRows);
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
for (int j = 0; j < i+1; j++) {
cout << res[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}这段代码使用了一个二维 vector 存储杨辉三角的结果，然后依次计算每一行的数字。对于每一行，先将 vector 的大小调整为当前行数加一，然后将首尾数字赋值为 1，最后依次计算每个位置的数字。最后输出杨辉三角的结果即可。
如果不使用 <vector> 库，可以使用动态数组来实现：
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int numRows = 5;
int** res = new int*[numRows];
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
res[i] = new int[i+1];
res[i][0] = res[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
res[i][j] = res[i-1][j-1] + res[i-1][j];
}
}
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
for (int j = 0; j < i+1; j++) {
cout << res[i][j] << " ";
}
cout << endl;
delete[] res[i];
}
delete[] res;
return 0;
}这段代码同样使用了动态数组存储杨辉三角的结果，然后依次计算每一行的数字。对于每一行，先使用 new 关键字动态分配内存，然后将首尾数字赋值为 1，最后依次计算每个位置的数字。最后输出杨辉三角的结果，并使用 delete 关键字释放内存即可。
需要注意的是，由于使用了动态数组，需要手动管理内存，即在程序结束时使用 delete 关键字释放内存，避免内存泄漏。
