什么是路径压缩?

路径压缩是并查集中的一种优化技术，旨在加速查找操作。其主要思想是在执行查找操作时，将路径上的每个节点直接连接到根节点，从而降低树的高度，使后续查找操作更加高效。

路径压缩的工作原理

1. 查找根节点： 在查找某个元素的根节点时，通常会递归查找其父节点，直到找到根节点。这一过程中，路径上的所有节点会被连接到根节点。

2. 优化路径： 在查找过程中，当发现某个节点的父节点不是自己时，可以递归调用 find 函数查找该节点的根。在返回根节点时，将当前节点的父节点直接设为根节点，这样在下次查找时就可以更快找到根节点。

具体示例

假设有一个并查集初始状态如下：

  1
 /
2
|
3

• 初始状态：

• parent[1] = 1

• parent[2] = 1

• parent[3] = 2

查找操作

当执行 find(3) 时，过程如下：

1. 查找根节点：

• find(3) 返回 find(2)，因为 parent[3] 是 2。

• find(2) 返回 find(1)，因为 parent[2] 是 1。

• find(1) 返回 1（根节点）。

2. 路径压缩：

• 在返回时，将 parent[3] 设置为 1。

• 将 parent[2] 设置为 1（可选，进一步压缩）。

压缩后的状态

查找后并查集的状态为：

  1

 / \

2   3

• parent[3] = 1，直接连接到根节点。

• parent[2] = 1（如果进行了进一步压缩）。

优势

• 提高效率：通过路径压缩，树的高度显著降低，使得后续的 find 操作的时间复杂度几乎接近常数时间。

• 加速合并操作：合并操作中，查找根节点的过程会变得更快，因为路径压缩减少了树的高度。

时间复杂度

在使用路径压缩的情况下，多个 find 操作的平均时间复杂度为 O(α(n))，其中 α 是阿克曼函数的反函数，增长极其缓慢，因此可以认为是常数时间。

总结

路径压缩是并查集中的重要优化技术，通过在查找过程中优化路径，提高了查找和合并操作的效率，使得并查集在处理动态连通性问题时非常高效。

路径压缩的简单解释

想象一下，有很多小朋友在玩游戏，每个小朋友都握着其他小朋友的手。每个小朋友都知道谁是自己手上的“朋友”，但是如果想知道谁是所有小朋友中最厉害的“王”，就需要一直问下去，直到找到王。

玩游戏的例子

1. 开始：

• 小朋友 A 是王。

• 小朋友 B 握着 A 的手。

• 小朋友 C 握着 B 的手。

A（王）
|
B
|
C

• 问 C 谁是王：

• C 先问 B，B 说是 A。

• 然后 C 又问 A，A 是王。

• 路径压缩：

• 现在，C 知道 A 是王了。为了下次问得更快，C 可以直接握住 A 的手，不再通过 B。

• 所以，C 直接跟 A 握手，变成这样：

A（王）

| \

B  C

这样有什么好处呢？

• 快速找到王：下次如果 C 还想找王，就可以直接找到 A，不需要再经过 B。

• 变得更聪明：这样每次找到王的时候，都会变得更快，因为大家都记得自己直接握着王的手。

总结

路径压缩就像是让每个小朋友都记住谁是王，这样每次问的时候，都能更快找到王。这样大家在一起玩得更开心，不用花太多时间去找！