🌟「mod 1000000007」到底是个啥？

在写算法题、信息学竞赛、甚至刷 LeetCode 时，经常看到下面这种代码：

const int MOD = 1000000007;
result = (a + b) % MOD;

这时候很多小朋友都问：
👉 “为什么结果还要对个一十亿零七取模？这数字是干嘛的？”
👉 “为啥老是 1000000007，不能是 8888 吗？”

来，讲清楚 👇

🧠 mod 是什么？

mod 叫做“取模”或“取余数”。
意思就是：只保留除法的余数，不要整数部分。

比如：

• 7 % 3 = 1，因为 7 ÷ 3 = 2 余 1

• 10 % 4 = 2

那么 a % 1000000007 就是把 a 除以 1000000007，结果只要余数部分。

💡 为什么要取模？

👶 原因一：防止“爆炸”！

程序中经常会算非常非常大的数，比如：

2^1000、n!（阶乘）、数列累加几亿次

这些结果会远远超出 int/long long 的表示范围。

🧯 所以就像加“保险”一样，取模能把数限制在一个合理的范围里（最多不超过 1000000006），不容易爆掉。

🎯 为什么是 1000000007？

这个数字不是随便编的，它有三大“隐藏属性”👇

✅ 1. 它是一个质数（素数）！

质数就是只能被 1 和自己整除的数，比如 2、3、5、7、11……
1000000007 是一个特别大的质数。

为什么要用质数？

因为在很多算法中，比如快速幂取逆元、费马小定理、组合数取模公式里，模数是质数可以让我们更容易使用数学公式！

比如组合数 C(n,k)mod  p，模数必须是质数才能用逆元。

✅ 2. 它刚好小于 2312^{31}231

这点对 C++ 里的 int 类型非常友好！

int 最大值是：

2^31 - 1 = 2147483647

而 1000000007 < 2147483647，能稳稳放进 int 里，不会爆炸。
所以很多题目和 OJ 平台都喜欢用它当模数。

✅ 3. 写起来顺手！

1000000007 是 10 后面 7 个 0 加一个 7，记起来非常顺，键盘上一敲就能打出来。

🎨 形象比喻时间：

想象一个大水杯装水，程序中数字越算越大，水就越多。
不给它一个模数限制，它迟早会溢出来把程序淹了！
而 mod 1000000007 就像是一个“限高杆”，让水始终控制在一个合理范围内。

🧪 举个例子：

int a = 1000000006;
int b = 2;
int result = (a + b) % 1000000007;
cout << result;  // 输出 1

1000000006 + 2 = 1000000008
取模后就是 1（因为刚好多出一个 1000000007）

🔚 总结下：